푸아송 비 (Poisson's ratio)

목차 

1. 푸아송 비 (Poisson's ratio)

2. 수직 탄성계수 E와 전단 탄성계수 G의 관계

 

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1. 푸아송 비 (Poisson's ratio)

고무줄을 잡아당기면 고무줄이 길어지면서 두께가 얇아지는 것을 확인할 수 있습니다. 고무뿐만 아니라 모든 재료의 경우 축 방향으로 인장을 하면 가로 방향으로는 수축을 하게 됩니다.
 
이렇게 축 방향으로 늘렸을 때 늘어나는 변형률과 가로 방향으로 수축되는 양에 대한 변형률의 비를 푸아송 비(Poisson's ratio)라고 합니다. 

그림.1

 

그림. 1 축 방향으로의 인장과 횡 방향으로의 수축

이를 식으로 정리하면 식 1과 같습니다.

식. 1

축 방향이 늘어난다면 가로방향은 수축하기 때문에, 식 1에서 가로 변형률과 세로변형률의 부호는 반대가 됩니다. 대표적인 재료들의 푸아송 비는 아래와 같습니다. 고무는 세로로 인장 한 만큼 가로로 수축하기 때문에 0.5가 나오는 것이며, 압축 및 인장 시 재료의 부피 변화가 없다고 볼 수 있습니다. 대부분 금속은 0.25~0.35의 푸아송 비를 가지고 있습니다. 와인병으로 사용하는 코르크의 경우는 축 변형률이 발생해도 가로로 두께가 변화하지 않습니다.

  

재료	푸아송 비
고무	0.5
금	0.42~0.44
티타늄	0.265~0.34
구리	0.33
알루미늄	0.32
Steel	0.27~0.3
콘크리트	0.1~0.2
유리	0.18~0.3
코르크	0

 

푸아송 비는 가로축 변형률과 세로축 변형률이 선형성을 가진다는 의미입니다. 이는 재료가 균질(homogeneous) 재료이며, 재료의 탄성 특성이 축 방향의 수직인 모든 방향에서 같아야 합니다. 참고로 재료가 모든 방향으로 같은 특성을 가지는 재료를 등방성(isotropic) 재료라고 하며, 그렇지 않은 재료는 이방성 (anisotropic) 재료라고 합니다. 재료역학에서는 대부분 선형 탄성, 균질, 등방성 재료라는 가정을 하고 이론을 풀어나갑니다.

 

2. 수직 탄성계수 E와 전단 탄성계수 G의 관계

푸아송 비를 이용하여 수직 탄성계수 E와 전단 탄성계수 G의 관계에 대해 알아보겠습니다.
 

그림. 2 전단 응력이 가해지는 요소의 단면

 

그림. 2와 같이 먼저 응력을 받는 재료의 단면을 abcd라고 하겠습니다. abcd는 길이 h인 정사각형이라고 가정하겠습니다.
전단 응력에 의해 사각형 abcd가 틀어지면서 대각선 ac 길이는 짧아지고 대각선 bd 길이는 길어집니다. 변형이 일어난 뒤 대각선 bd 길이를 Lbd라고 하겠습니다. 변형이 일어나기 전 대각선 bd의 길이는 정사각형의 대각선이므로 root(2)*h로 나타낼 수 있습니다.
변형률의 정의에 의해서 대각선 bd의 변형률은 식 2와 같이 정의할 수 있습니다.

식. 2

식 2를 Lbd에 대해 정리하면 식 3과 같이 정리할 수 있습니다.

식. 3

이제 그림 2의 가장 오른쪽 도형을 제 2코사인 법칙을 이용하여 정리해 보겠습니다. 제 2코사인 법칙을 이용하여 정리하면 식 4와 같이 정리할 수 있습니다.

식. 4

식 4에 식 3을 대입하여 정리하면 식 5와 같습니다.

식. 5

식 5에서 εmax 와 γ는 매우 작은 변형률입니다. 따라서 식 5에서 εmax은 무시하고 sinγ는 γ로 치환할 수 있습니다.

이를 정리하면 식 6과 같습니다.

식. 6

  

그림. 3 좌표가 0도 일 때와 45도일 때 요소의 응력

등방성 재료에서 그림 3과 같은 요소에서 전단 응력이 존재할 때, 요소를 45도 회전하면 수직응력이 τ만큼 발생하는 것으로 볼 수 있습니다. 그림 3의 오른쪽 그림과 같이 수직응력에서 +방향으로 인장 되는 변형률과 -방향으로 수축되는 변형률을 더하여 식 7과 같이 나타낼 수 있습니다.

식. 7

식. 8

식 6과 식 8을 식 7에 대입합니다.

이를 정리하면 식 9와 같이 수직 탄성계수 E와 전단 탄성계수 G의 관계식을 얻어낼 수 있습니다.

식.9

위와 같이 푸와송의 비와 이를 활용한 수직 탄성계수 E와 전단 탄성계수 G의 관계식에 대해서 알아보았습니다.